Kezdőlap (Valós szám)

 Matematika 

Tudod-e, hogy mi mi? MiMi az útmutató tudástár.
  » »
 
   

Valós szám

Matematika  Valós rész  Valós számok

VALÓS SZÁMOK, VALÓS SZÁMSOROZATOK, VÉGTELEN SOROK

A VALÓS SZÁMOK AXIÓMARENDSZERE ...


valós szám
A matematikában, tudományos munkában és a mindenapi életben általánosan használt számok a valós számok. Egy egyenes, a valós egyenes pontjaiként lehet őket ábrázolni.

A valós számok
Példaként tekintsük az -en értelmezett standard (Borel) σ-algebrát. Ezt a véges, nyílt intervallumok családja generálja (amely a metszetre nézve nyilván zárt). Tehát egy valószínűségi mértéket -en teljesen meghatároznak a nyílt intervallumokon felvett értékei.

Valós számok a racionális és az irracionális számok összessége, tehát azok a számok, amelyek megadhatóak végtelen tizedestörtekkel. A valós számok halmazának jele: R.
A valós számok halmaza zárt az összeadásra, kivonásra, szorzásra, osztásra.

A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.
A négyzetgyökfüggvény grafikonja
Azt a függvényt, ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek nevezzük: ...

Az valós számok meghatározását konkrét példán nézzük meg. A átlakítható alakra. A fenti állítás szerint ez felírható
alakban. Példákban az egyszerűség kedvéért nem az jelöléseket szoktuk használni.

Adott a valós számok halmazán értelmezett f(x) függvény.
a/ Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, mely az origón átmegy, és az f(x) függvénygörbét érinti.

Megjegyzés: A valós számoknak nem létezik véges kódolásuk (számossági okok). Mindig feltesszük, hogy a koordináták racionálisok, vagy egészek.
II) Mit válasszuk elemi lépéseknek?
Elemi lépések: alapműveletek és összehasonlítások valós számok között.

Bármely pozitív valós szám egyértelműen felírható valamely 1-től különböző pozitív valós szám hatványaként. Egy számnak egy adott alapra vonatkozó hatványkitevőjét a szám adott alapú logaritmusának nevezzük.
A logaritmus fogalma ...

Befejezésül meg kell említeni a Valós számok halmazát.
Ez nem más, mint a racionális számok és az irracionális számok együttese.
A valós számok jelölésére a dupla szárú, nagy R betűt használjuk.
Ha halmazok jeleit használjuk: R = Q U Q*. (Ahol U jelenti a halmazok unió-ját, egyesítését.) ...

A valós számok algebrailag - a fentebb leírt összeadásra és szorzásra nézve - számtestet alkotnak. Pontosabban a valós számok teste, egy Archimédeszien rendezett teljes test.

ahol c tetszőleges valós szám.
Ezért az eredeti, (111) differenciálegyenlet y megoldására
Ebből integrálással felírhatjuk y-t: ...

Egy A mátrix r valós számmal való szorzatán azt a mátrixot értjük, melyet A-ból úgy kapunk, hogy A minden elemét megszorozzuk r-rel. Például:
Tulajdonságai:
Az utolsó tulajdonság esetében értelmeznünk kell a mátrix közötti szorzást.

Hiszen akkor például az összes természetes számok halmazáról, vagy az összes valós számok halmazáról sem lehetne beszélni.

Számtani közép: n darab valós szám számtani közepe az összegük n-ed része. Mértani közép: n darab nemnegatív valós szám mértani közepe a szorzatuk n. gyöke. n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2).

Mit értünk egy valós szám N-edik gyökén [ahol n egy pozitív egész szám]?
Mit értünk egy vektor számszorosán?
Mit értünk két, vagy több szám közös osztóján? Hogyan határozhatjuk meg?
Mit jelent az A alapú logaritmus b, és milyen kikötéseket kell tenni a-ra, és b-re?

(Így az OE szakaszt tekintjük egységnyinek.) Az egyenes minden X pontjához pontosan egy olyan x valós szám (az OX szakasz előjeles hossza) rendelhető hozzá, amelyre teljesül, hogy x akkor és csak akkor pozitív, ha X az O kezdőpontú E -t tartalmazó félegyenesre illeszkedik.

A valós számokból álló a1,a2,...,an,...
alfa, konvergens sorozatok halmaza,
béta, korlátos sorozatok halmaza,
gamma, sorozatok halmaza,
az összeadásra és szorzásra nézve.

Ahogy az algebrából tudjuk, az a nem 0 valós számnak van a szorzásra nézve is ellentettje: az 1/a, azaz az a-1. Azért ez, mert az adott számot csak ezzel az inverzével összeszorozva kapjuk meg az egységelemet (a*a-1=1).

xn valós számok, akkor az alábbi numerikus jellemzőket kell kiszámítani:
a középérték leírására: empirikus közép, medián, módusz;
a szóródás leírására: empirikus szórásnégyzet, szórás, minta terjedelem, minimum, maximum;
az eloszlás jellemzésére: empirikus kvantilisek, ferdeség lapultság.

Definíció. Bármely valós szám első hatványa önmaga. Bármely valós számot, ha kitevője 1-nél nagyobb egész szám, annyiszor veszünk szorzótényezőül, ahányszor a kitevője mutatja.
A 0 kitevővel is érdemes már itt foglalkozni, hiszen gyakran előkerül számolási feladatokban.

A tér minden pontját vagy rendezett, valós számhármassal jellemezzük, vagy pedig háromdimenziós vektorral, a ponthoz mutató helyvektorral. A leggyakrabban használatos koordinátarendszerek: a Descartes-féle, a henger- és a szférikus (gömbi, térbeli polár-) koordinátarendszer.

aritmetika
Számtan, a valós számokkal foglalkozó matematikai tudományág, -régebben- számelmélet.
Nemzetközi tudományos szakszó a görög arithmosz (szám) nyomán. algoritmus, logaritmus.

2.21. Tétel. Tetszőleges valós számra
2.13-ban akkor és csak akkor áll fenn egyenlőség, ha .
A bizonyítást az olvasóra bízzuk. (2.12 a várható érték linearitásából, 2.13 pedig 2.12-ből adódik).

Az "aritmetika" jelentése: A matematikának az az ága, mely a valós számokkal végzett műveletekkel foglalkozik.

Ez a "felejtés" egy ϕ:G→GL(1 ,ℝ) homomorfizmus. Világos, hogy a magja éppen H, a képe pedig az egész GL(1 ,ℝ). Ezért H normálosztó, és G/H izomorf GL(1 ,ℝ)-hez, ami nem más, mint ℝ *, a nemnulla valós számok csoportja a szorzásra nézve.

Ez azt mondja ki, hogy a természetes számok halmazának számossága és a valós számok halmazának számossága között más további számosság nem található; Kőnig előadásában cáfolni kívánta ezt a sejtést.

Mit lehet mondani a négyszögről, illetve a P pontról?
Három valós számról, a, b, c-ről tudjuk. hogy a+b racionális, b+c racionálís és a+c irracionális.
Mit lehet mondani az a, b, c számokról?
Mit lehet mondani a 2a+3b+5c összegről?
Mit lehet mondani a 2a+3b+4c összegről?

Lásd még: Lásd még: Mit jelent Valós számok, Függvény, Halmaz, Összeg, Egyenlet?

◄ Valós rész   Valós számok ►
 
RSS Mobile