Indukció

indukció
(lat., gör. epagogé) a. m. bevezetés, behozás, innét ez utóbbi szónak tankönyvekben való helytelen, mert érthetetlen használata; a logikában az egyesből vagy részlegesből egyetemesre való következtetés.

Az "indukció" jelentése: Egyes esetekből következtetés az általános törvényszerűségre.

A teljes indukció (ritkábban: matematikai indukció) a matematika egyik legfontosabb és leggyakrabban használt bizonyítási módszere a természetes számok körében.

Mágneses indukció vektor
Ha a minden irányba könnyen elforduló magnetométert tetszőleges eredetű mágneses mezők különböző pontjaiba helyezzük a következőket tapasztaljuk: ...

teljes indukció
A teljes indukcióval való bizonyítás módszere a következő elven alapul: Tegyük fel, hogy minden n pozitív egésznek megfeleltethető egy állítás, amely vagy igaz, vagy hamis. Ha
igaz, és ...

Teljes indukcióval könnyen adódik, hogy . Ennek alapján az (1) feltétel ekvivalens az
oszthatósággal. A jobb oldalt -vel szorozva miatt
(2) ...

Itt a teljes indukciós bizonyítást a rekurziós összefüggés segítségével lehet elvégezni. Ebben az esetben is egyenértékű a teljes indukció és a rekurzió módszerét használó megoldás, bár a teljes indukció alkalmazásához ismerni kell a végeredményt.

Teljes indukciót alkalmazunk n-re. Az állítás n=4-re az, hogy négypontú, legalább öt élű gráfban van a megadott alakzat. De ilyen gráf csak kettő van: a teljes négyes és az a gráf, amelyet ebből egy él elvételével kapunk.

Fordítva formula indukciót végzünk. Az egyetlen problémás lépést a feltételünk oldja meg.

Az n szerinti indukcióval belátjuk, hogy O mindegyik Ai-től egyenlő távolságra van. Ha n=3, akkor ez az 5. Állításból következik. Tegyük fel, hogy az n-nél kisebb számokra igaz az állítás. Elég belátni, hogy OA1=OA2. Tegyük fel, hogy ez nem igaz.

Ezen állítás bizonyítása k szerinti indukcióval könnyen elvégezhető. Valóban, k=0-ra és k=1-re nyilvánvalóan, k=2,3,4-re az előbb látottak miatt igaz; továbbá ha k-ra igaz, akkor k+1-re:
amit igazolni kellett. Ezért minden k természetes számra ...

Mivel a definíció és az indukciós feltevés alapján ,
a sejtésünk igaz. A számtani sorozat első n tagjának összegét Gauss gondolata alapján határozzuk meg.

I. 45. - A négynél több oldalú sokszög esete ugyanígy (szigorúan véve teljes indukcióval) intézhető el. Ez a tétel és I. 41. biztosítja, hogy I. 44. háromszög helyett bármely sokszögre alkalmazható legyen.

See also: Bizonyítás, Összeg, Hasonló, Sorozat, Teljes indukció