Húrnégyszög

Húrnégyszögek
Definíció: Azokat a konvex négyszögeket, amelyeknek minden oldala egy kör húrja, húrnégyszögeknek nevezzük.
Húrnégyszögek tétele és megfordítása ...

Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amelyhez van olyan kör, amely áthalad a négyszög négy csúcsán. Ezt röviden így is mondjuk: a négyszög köré írható kör.

Húrnégyszögek, érintőnégyszögek, szimmetrikus négyszögek »
« Háromszög nevezetes vonalai, pontjai és körei
Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között ...

húrnégyszög. szögfelező és magasságvonal is szögfelező és magasságvonal . Az átlók merőlegesen felezik egymást: rombusz (s így természetesen érintőnégyszög is).

Egy húrnégyszögben a szemközti oldalak szorzatainak összege megegyezik az átlók szorzatával.
Továbbá a tétel megfordítása is igaz, vagyis: ...

négyszög húrnégyszög, így és . Az ábrából kiolvasható, hogy és . Összegezve: és , amiből következik, hogy .
Így a következő aránypárt írhatjuk föl: ...

Ebből következik, hogy az OBOaC négyszög húrnégyszög, mert B-nél és C-nél lévő szögei egyaránt derékszögek.

Ha a kör kerületén lévő Q pont az AB húr ellenkező oldalán fekszik, mint a P pont, akkor . Ezért egy húrnégyszög két szemközti szögének összege .
Amikor AB átmérő, a kerületi szög derékszög. Ha T tetszőleges pont az A pontbeli érintőn, akkor .

Először körre igazolta, majd általánosan is kimondta tételét: Ha egy kúpszeletbe húrnégyszöget rajzolunk, annak oldalegyeneseit egy ötödikkel elmetszük, ami a kúpszeletből is kimetsz két pontot, akkor az így kapott hat pont involúciót képez.

See also: Szakasz, Háromszög, Egyenes, Merőleges, Távolság