Gyök

gyök
Legyen olyan egyenlet, amely tartalmazza az x ismeretlent. Az egyenlet gyöke az összes olyan h érték, amelyre . Az ilyen értékeket az f függvény nullahelyének is szokták hívni.

Egyik gyök: 3, Másik gyök:
Mivel a nevezőben nem állhat , így a sem lehet az, s ekkor tényleg másodfokú egyenletről beszélünk, s elvégezhető az osztás.

Ha e két gyök valós és különböző, akkor az általános megoldás
Ha , akkor az általános megoldás
y=(c1+c2x)e-px/2.

Bizonyítása: a gyök fogalom definíciója szerint az állítás bal
oldalán álló (n`(a*b))^n az egyenlő (a*b)-vel.
((n`a)*(n`b))^n =(n`a)^n*(n`b)^n [szorzat hatványára vonatkozó
azonosság miatt] =a*b ...

A π vagy a "gyök 2" távolságot lehetetlen kimérni, hiszen a mérés eredménye mindig csak (néhány tizedesnyi) racionális szám (véges tizedes tört ) lehet.

Tegyük fel, hogy c nem gyök, azaz p(c)0. Mivel a polinom folytonos, rajzolhatunk c körül egy elég kis kört úgy, hogy annak belsejében a polinom értékének iránya p(c) irányától legfeljebb 90o-kal térjen el.

Legyen primitív gyök modulo p (ismert, hogy ilyen létezik). Ekkor , hiszen -nek p-1 egymásutáni hatványa redukált maradékrendszert alkot modulo p.

Ha , akkor egy megoldás létezik a valós számok halmazán. (Kétszeres gyök, .)
Ha >>, akkor két megoldás létezik a valós számok halmazán.
Ha <<, akkor nincs megoldás a valós számok halmazán, hiszen ekkor negatív számból kell gyököt vonnunk.

Jelölés: A fenti lemmában szereplő egyetlen megoldást "k-adik gyök A"-val jelöljük. Hatványozás Legyen r egy racionális szám, F egy formális hatványsor. Ekkor Fr a valós számok racionális kitevőjű hatványaihoz hasonlóan definiálható.

A hatványozás azonosságainak és az exponenciális függvény tulajdonságainak segítségével négy (esetleg, a gyök logaritmusára vonatkozó azonossággal öt) azonosságot bizonyítunk.

Ez y-ra nézve másodfokú egyenletté alakítható, melynek megoldásai: y1=-1,73 h és y2=+0,22 h. (Az első gyök nyilván a kezdőállapotot adja meg, a 2.(c) állapotnak y2 felel meg.)
3. ábra ...

Lásd még: Egyenlet, Halmaz, Függvény, Rendszer, Négyzet