Csúcsok

A csúcsok és élek közti összefüggés erdőben
"A csúcsok és az élek közti összefüggés fagráfban" című bizonyítás miatt minden ( darab) komponensre fölírható az alábbi összefüggés: .

Csúcsok
Egy elvágó pont (artikulációs pont) egy olyan csúcsa egy összefüggő gráfnak, amelynek elhagyásával a megmaradó részgráf már nem összefüggő (szétesik; egy csúcsot mindig csak a vele szomszédos élekkel együtt lehet elhagyni).

Csúcsok halmaza.
Csúcsok halmaza rendezve a kerületi sorrendnek megfelelően.
Oldalak halmaza. Oldal: lineáris egyenlet.
Féleterek halmaza. Féltér: lineáris egyenletrendszer.
Oldalak rendezett halmaza.
A probléma különbözik a klasszikus esettől.

csúcsokra írt összes szám összege 0. A λ1 = r sajátértékhez tartozó sajátvektorokban minden szám egyenlő, ez úgy bizonyítható, ahogy a kockánál is láttuk. Tehát a λ1 = r sajátérték multiplicitása 1.

(csúcsok száma) - (élek száma) + (lapok száma) = 2 - 2 p .
Ennek p = 0 esetét, az ún. Euler poliéder-tételt már nyilván jól ismeri az olvasó.

A csúcsokhoz legközelebbi osztópontokat az ábrán látható módon összekötve három kis háromszöget kapunk.

Ha most a csúcsokat áthelyezzük a "régi" helyükre:
és úgy rajzoljuk be a köztük az "új" gráfban futó éleket, akkor éppen az eredeti Petersen-gráfot kapjuk: ...

A csúcsok száma megegyezik az oldalokéva. Két szomszédos oldal által bezárt szöget belső szögnek, egy oldal és a vele szomszédosnak a közös csúcson túl való folytatása által bezárt szöget pedig külső szögnek mondjuk.

Egy töröttvonalat valóban a csúcsai felsorolásával (és természetesen a csúcsok egyértelmű meghatározásával) kell megadnunk. A csúcsok (általában a sík vagy tér pontjainak) egyértelmű megadása a geometria egyik alapvető kérdése.

Azt szeretnénk, hogy a csúcsok egyenrangúak legyenek és a megfeleltetés ne függjön a kiinduló csempe elhelyezésétől sem. Erre egy lehetséges megoldás a következő.

a szabályos háromszög középpontosan is szimetrikusak, és a tükörtengelyek a szemközti csúcsokat, illetve a szemköztes oldalak felezőpontjait kötik össze.

Ha pedig két páratlan fokszámú csúcs van, akkor az egyik páratlan fokú csúcsból kiindulva megrajzolható a gráf úgy, hogy a másik csúcsba érünk vissza (azaz: van nyitott Euler vonala). (A csúcsok fokszáma alatt az oda befutó élek (utak) számát értjük.

Ebből a képletből akkor kapunk pozitív értéket a területre, ha a csúcsok körüljárási iránya az óramutató járásával ellenkező; ha a körüljárási irány az óramutató járásával megegyező, a képlet a területre negatív értéket ad.
Pont és egyenes távolsága ...

Mivel AC felező merőlegese azon pontok halmaza, amelyek egyenlő távolságra vannak az A és C csúcsoktól, ezért M illeszkedik az AC oldal felező merőlegesére is.
Ezzel sejtésünket bebizonyítottuk.
Alkalmazások: ...

Ezt a két tetraédert azonos területű alaplapjukkal helyezzük egy síkra. A csúcsoktól d távolságban metsszük ezeket az alaplapokkal párhuzamos síkkal, a síkmetszetek területét jelöljük t1-gyel és t2-vel.

Legyenek a koordinátáik: A(y,x,0), B(0,y,x) és C(x,0,y).
Ekkor a csúcsokat meghatározó téglalapok oldalai 2x, ill. 2y..Felírva az AB pontok közötti távolságot, és kihasználva, hogy AB=BC=CA=2, x és y között az alábbi összefüggést kapjuk: ...

600 és 300 között, a művészetek és a tudományok hihetetlen csúcsokra emelkedtek. Nem tudunk ésszerű magyarázatot találni arra, hogyan ment végbe ez a robbanásszerű fejlődés, amelynek egyik hulláma követte a másikat.

See also: Bizonyítás, Definíció, Halmaz, Végpont, Lemma